miércoles, 2 de julio de 2008

Circunferencia


Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio.

Se distingue del círculo en que este último es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada. En otras palabras, la circunferencia sería el perímetro de esta figura geométrica, y el círculo sería la superficie que describe.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.[1] [2] [3] [4] [5]

Es la curva de máxima simetría bidimensional y sus aplicaciones son muy numerosas.

etimologia:

La palabra circunferencia proviene del latín circumferentĭa, que significa periferia.

Durante mucho tiempo, se empleó el término círculo para designar tanto la superficie, como a la curva que lo delimita: la circunferencia. Actualmente, en idioma castellano, el círculo[6] define la superficie, y a la curva se le llama circunferencia.[7] No ocurre lo mismo en otros idiomas, donde se sigue utilizando indistintamente, junto con disco. En castellano, no existe el término geométrico disco.[8

Elementos de la circunferencia:


Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

  • centro, punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
  • radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
  • diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y pasa por el centro;
  • cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas de longitud máxima es el diámetro;
  • recta secante, la que corta la circunferencia en dos puntos;
  • recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
  • punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia;
  • arco, segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
  • Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.

Longitud de la circunferencia:

La longitud \ell de una circunferencia es: \ell = 2 \pi r

donde r \, es la longitud del radio y \pi \, (número pi) es el cociente entre el diámetro y la longitud de la circunferencia.


Ecuaciones de la circunferencia:


Ecuación en coordenadas cartesianas [editar]

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (a, b) y radio r consta de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación

(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2\,.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica a

x^2 + y^2 = r^2\,.

La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia unidad (o circunferencia unitaria).

De la ecuación general de una circunferencia,

(x-a)^2 + (y-b)^2=r^2 \,

se deduce:

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 \,

resultando:

a = \frac{-D}{2}
b = \frac{-E}{2}
r = \sqrt{a^2 + b^2-F}

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: (x_1,y_1), (x_2,y_2)\,,


la ecuación de la circunferencia es:

(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0.\,

Ecuación en coordenadas polares [editar]

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se describe en coordenadas polares como (r,\theta) \,

r=c. \,

Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto (s,\alpha) \, y el radio es c \,, la ecuación se transforma en:

r^2 - 2 s r\, \cos(\theta - \alpha) + s^2 = c^2

Ecuación en coordenadas paramétricas [editar]

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

x=a + c \cos t,\ y=b+c\sin t,\qquad t\in[0,2\pi]

y con funciones racionales como

x=a+c\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right),\ y=b+c\left(\frac{2t}{1+t^2}\right),\qquad -\infty\leq t\leq \infty

Área del círculo delimitado por una circunferencia [editar]

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

A = \pi \cdot r^2

Esta última fórmula se debe a que, sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al producto del apotema y el perímetro del polígono dividido entre 2, es decir: A = \frac{p \cdot a}{2}. Y aproximando la circunferencia como el límite de polígonos regulares, entonces el apotema coincide con el radio de la circunferencia, y el perímetro con la longitud, por tanto:

A = \frac{p \cdot a}{2} = \frac{L \cdot r}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot \pi \cdot r^2}{2} = \pi \cdot r^2

Otras propiedades [editar]

El teorema de Tales dice que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada con uno de sus lados siendo el diámetro de la circunferencia, entonces el ángulo opuesto a éste lado es un ángulo recto (véase arco capaz).

Dados tres puntos cualesquiera que no pertenezcan a una misma recta, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta circunferencia se refiere como circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3) \,, la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la determinante matricial:

\det\begin{bmatrix} x & y & x^2 + y^2 & 1 \\ x_1 & y_1 & x_1^2 + y_1^2 & 1 \\ x_2 & y_2 & x_2^2 + y_2^2 & 1 \\ x_3 & y_3 & x_3^2 + y_3^2 & 1 \\ \end{bmatrix} = 0.
una circunferencia es una seccion conica,con excentricidad cero.

referencias:
  1. ↑ "Introducción a la geometría" Eugenio Roanes Macías. Anaya editorial. 1ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X
  2. ↑ "Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica, Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6
  3. ↑ "Geometría analítica del plano y del espacio". Jesús M. Ruiz. Anaya, 1ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8
  4. ↑ "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1
  5. ↑ "Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006. ISBN 970-10-5274-9
  6. ↑ RAE, círculo
  7. ↑ RAE, circunferencia
  8. ↑ RAE, disco.
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